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梦里花落知多少
[新手]
已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)Inx(a∈R，a≠0).求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值。
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f(x) =x^2 -4x +(2-a)lnx ，( a∈R，a≠0 ，x∈[e,e^2] )。
f'(x)
=2x -4 +(2-a)/x
=[2(x -1)^2 -a]/x
令f'(x) =0
得x =1 +√(a/2)
[舍去x =1 -√(a/2)]
1.当 a≤2(e -1)^2 且a≠0 时
f'(x)≥0 ,x∈[e,e^2]
f(x) 在x∈[e,e^2]上递增，
此时f(x)的最小值是
f(e) =e^2 -4e +(2-a)
2.当 2(e -1)^2＜a＜2(e^2 -1)^2 时
令f'(x) =[2(x -1)^2 -a]/x =0
得x = 1 +√(a/2) ∈[e,e^2]
f(x) 在x∈[e,e2]上的最小值是
f(1 +√(a/2))
=[1 +√(a/2)]^2 -4[1 +√(a/2)] +(2-a)ln[1 +√(a/2)]
=a/2 -√(2a) -3 +(2-a)ln[1 +√(a/2)]
3.当 a≥2(e^2 -1)^2 时
f'(x) =[2(x -1)^2 -a]/x ≤0
f(x) 在x∈[e,e^2]上递减，
此时f(x)的最小值是
f(e^2) = e^4 - 4e^2 + 2(2-a) 。
f'(x)
=2x -4 +(2-a)/x
=[2(x -1)^2 -a]/x
令f'(x) =0
得x =1 +√(a/2)
[舍去x =1 -√(a/2)]
1.当 a≤2(e -1)^2 且a≠0 时
f'(x)≥0 ,x∈[e,e^2]
f(x) 在x∈[e,e^2]上递增，
此时f(x)的最小值是
f(e) =e^2 -4e +(2-a)
2.当 2(e -1)^2＜a＜2(e^2 -1)^2 时
令f'(x) =[2(x -1)^2 -a]/x =0
得x = 1 +√(a/2) ∈[e,e^2]
f(x) 在x∈[e,e2]上的最小值是
f(1 +√(a/2))
=[1 +√(a/2)]^2 -4[1 +√(a/2)] +(2-a)ln[1 +√(a/2)]
=a/2 -√(2a) -3 +(2-a)ln[1 +√(a/2)]
3.当 a≥2(e^2 -1)^2 时
f'(x) =[2(x -1)^2 -a]/x ≤0
f(x) 在x∈[e,e^2]上递减，
此时f(x)的最小值是
f(e^2) = e^4 - 4e^2 + 2(2-a) 。
回答：2010-03-18 07:00
修改：2010-03-18 10:54
修改：2010-03-18 10:54
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