当 R(A)=n时,有A可逆，|A|≠0，由
AA* = |A|E，说明A*可逆，R(A*)=n


当r(A)=n-1时，有A不可逆，|A|=0所以
AA* = |A|E=0,所以r(A*)<=n-r(A)=1。
而矩阵A的秩为n-1,所以说在A中的n-1阶子式中至少有一个不为0，所以A*中有元素不为0，即A*≠0，r(A*)>=1。
所以 r(A*)=1


当r(A)<n-1,即r(A)<=n-2时，说明矩阵的秩是小于等于n-2的，那么他的所以n-1阶子式全为0，就是说A*中的每个元素全为0.A*=0.
所以r(A*)=0

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